在這個游戲中,PW= 0.6,PL＝0.4 平均的盈利額或虧損額是1 美元,你的盈利額或者虧損額剛好是你的賭注。因此,對于每1美元的賭注, 你要么贏取1美元,要么虧損1美元。在這個游戲中, 期望收益=(0.6*1)-(0.4 * 1)＝0.6—0.4＝0.2在這個特殊的游戲中．經過多次的試驗后,平均每1 美元賭注的期望收益是20美分。這就是說,經過多次的試驗后,你不僅能拿回自己的賭注并且能平均賺得20美分。
當然,這并不表示你每次都能贏。事實上,在這個特殊的游戲中,你的盈利幾率只有60％。實際試驗中,1000局中可能會有連續10次都是虧損的。然而,在這1000次試驗中,你下的每1美元賭注平均能得到20美分的利潤。因此,如果你每次都下了2美元的賭注,1000次可能就能賺400美元。
就像投資于市場中的一般系統一樣, 如果我們的裝球的袋子再復雜一點又會有什么情況呢？首先假定贏和輸的幾率不同,并且假設你有一個裝有100個彈球的袋子,這些彈球有一定數日的顏色。讓我們根據表6－l所示的矩陣,給每種顏色一個不間的回報率。
表6－1彈球回報矩陣
彈球的顏色和數目 贏或輸 回報
50個黑彈球 輸 1：1
10個藍彈球 輸 2：l
4個紅彈球 輸 3：l
20個綠禪球 贏 1：1
10個白彈球 贏 5：1
3個黃彈球 贏 10：1
3個透明彈球 贏 20：1
再次假定一個彈球被拿出后又會被重新放回袋中。注意這個游戲盈利的幾率只有36％。你還想再玩嗎？為什么想或者為什么不想？這個游戲的期望收益是多少？玩這個游戲每1美元的賭注平均能賺到多少利潤？它比第一個游戲更好還是更差？
值得慶幸的是,期望收益的標準公式是可求和的。因此,公式（6－l）可轉化成以下的公式（6－2）
期望收益= ∑（iPW * AW）-∑（PL * AL）公式（6-2）這里的求和符號表示這個公式具有可加性。換句話說．你可以把所有正的期望收益,比如盈利的彈球,和所有負的期望收益,比如虧損的彈球,都各自加和起來,然后從總的正期望收益中減掉總的負期望收益,就可以得到這次游戲的期望收益。
讓我們一步步地深入這個過程。首先來看一下所有盈利彈球的（PW X AW）,并且把它們加總。
（1）綠球 PW=0.2 AW＝1 ,因此,PW * AW＝02。
（2）白球 PW=0.1 AW＝5, 因此,PW * AW＝0.1 X 5=0.5
（3）黃球 PW=0.03 AW＝10,因此,PW * AW＝0. 03 X 10= 0. 3
（4）透明球 PW=0.03 AW=20 ,因此,PW * AW=0.03* 20=0.6
現在把它們都加起來: 0.2+0.5＋0．3＋0．6＝1.6 這就是這個游戲的任期望收益總和。
其次,讓我們來看一下所有虧損交易的負期望收益(PL X AL),并把它們加和起來。
（1）黑球PL＝0.5, AL＝1．因此,PL * AL=0.5*1＝05。
（2）藍球PL＝0.1, AL＝2,因此．PL * AL＝0.1*2＝0.2
（3）紅球PL= 0.04, AL＝3,因此,PL*AL＝0．04* 3＝0.12。
再次把它們加和起來：0．5＋0．2＋0．12＝0. 82。這就是這個游戲的負期望收益總和..
最后, 這個游戲的總期望收益就是這兩個和值的差額。它們之間的差額可以通過從總的正期望收益中（1．6）減去總的負期望收益（0．82）得到。結果是0．78.因此,這個游戲重復多次后．期望收益是每1美元賭注賺78美分。請注意．這個游戲的利潤幾乎是第一個游戲的4倍.。
通過這兩個例子,你應該已經學到了一個非常重要的觀點。大多數人都在尋找有高盈利幾率的交易游戲,然而在第一個例子中,你有60％的盈利機會,卻只有20美分的期望收益。而在第二個例子中,雖然只有36％的盈利機會．但期望收益卻是78美分。因此．若假定同樣的機會因素,游戲2比游戲1要好將近4倍。注意系統中最關鍵的因素并不是盈利幾率,相反,決定系統價值的關鍵因素是它的每1美元期望收益。
在這里有必要提醒注意,因素(5)和(6)對你獲利來說是非常重要的.只有根據你資本的大小聰明地進行頭寸調整,才能在長期實現你的期望收益。頭寸調整是系統中告訴你每一頭寸應冒多少風險的那部分。它是你系統整體的一個關鍵部分．我們會在第12章深入討論這一部分。

但是讓我們來看一個例子,看看頭寸調整和期望收益是如何結合到一起兒的。假定你正在玩游戲1,就是60％幾率的捉球游戲。你以總共100美元的資本開始了這個游戲,假設一開始就把全部的100美元賭在了第一抓上。你有40％的虧損幾率,并且你剛好就抓了一個黑彈球。這是可能發生的,并且如果它真的發生,你就輸掉了全部的賭注。換句話說,你的頭寸大小,就是賭注大小,相對于你的安全資本來說太大了。
因為你已經沒有資本,因此就不能再玩了。所以,你無法實現長期玩這個游戲能夠得到的每1美元20美分的期望收益。
讓我們看一下另一個例子。這次假定你每次賭50%,而不是100％。那么就是以50美元開始下賭了。你抓到了一個黑球,因此你輸了。現在你的賭注減少到了50美元。你下一次的賭注又是剩下部分的50％,就是25美元,你又輸了。現在你只剩下25美元了。再下一次賭注是12．50美元,又輸了。現在就剩下12。5 元。連續三次輸在一個每次只有60％盈利幾率的系統中是很有可能的,三次連續事件的幾率大約就是1/16。為了使盈虧乎衡,你必須贏回87.50美元,相當于700％的增長率．而你根本不可能賺到那么多。因此,由于不正確的頭寸調整,你又再次未能獲得你的長期期望收益。
記住,在一次給定交易中的頭寸大小必須足夠低以便能實現系統多次之后的長期期望收益。
到這一步,你可能會說你是通過離市而不是頭寸調整來控制風險的。然而,記住打雪仗這個比喻。風險本質上就是因素（2）：盈利與虧損的相對大小。頭寸的大小本質上是另一個收入和虧損相對大小的變量（因素6）它告訴你相對于你的資本的頭寸應是多大。

機會因素和期望收益
系統的評估中還有另一個與期望收益一樣重要的因素,就是機會因素,也就是我們的第四個因素,你通常多久玩一次游戲？假定你可以玩游戲1和2：
如果游戲2只允許你每5分鐘抓一個彈球,而游戲1卻允許你每分鐘抓一個彈球。在這種情形下,你愿意玩那個游戲？
讓我們看一下機會因素是如何改變游戲的值的。假定你能玩一個小時、既然游戲1允許你每分鐘抓一個彈球。你的機會因素就是60,或者說有60次機會玩這個游戲；既然游戲2允許你每5分鐘抓一個彈球,那么你的機會因素就是12,也就是有12次機會玩這個游戲。
記住,你的期望收益是大量的機會之后每1美元能贏的金額。因此能玩游戲的機會越多,就越可能實現該游戲的期望收益。
為了評估每個游戲的相對優點,必須把期望收益乘上你能玩的次數。假定你每次只下1美元的賭注,比較兩個游戲在1小時內的表現。得到的結果如下。
游戲1：20美分的期望收益 * 60的幾率= 12美元。
游戲2；78美分的期望收益 * 12的幾率= 936美元。
因此,給了我們任意加上去的機會限制后,假定你每次仍然只下1美元的賭注,游戲1實際上要比游戲2更好了。當你評估市場中的期望收益時,必須類似地考慮你的系統帶給你的機會量。例如,一個每周三次交易,扣除交易成本后的期望收益為50美分的系統比一個每個月只交易一次,同樣扣除交易成本后的期望收益為50美分的系統要好。